Question

【题目】已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F

（1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？

（2）在（1）的条件下，若AB=15，AC=10，求△AEF的周长；

（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由；

（4）如图3，∠ABC、∠ACB的外角平分线的延长线相交于点O，请直接写出EF，BE，CF，MN之间的数量关系．不需证明．

Answer 1

【答案】（1）△BEO、△CFO是等腰三角形，EF= BE+CF；（2）25；（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF=BE﹣CF，理由见解析；（4）EF=BE+MN+CF．

【解析】

（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论；

（2）利用（1）的结论即可得出结论；

（3）同（1）的方法即可得出结论；

（4）同（1）的方法即可得出结论．

（1）∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴BE=OE，∴△BEO是等腰三角形．

同理：△CFO是等腰三角形，EF=OE+OF=BE+CF；

（2）由（1）知，OE=BE，OF=CF，∴AEF的周长为AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25；

（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF=BE﹣CF，理由：

∵BO是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠EOB，∴∠ABO=EOB，∴OE=BE．

同理：CF=OF，∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．

（4）∵BO是∠CBE的平分线，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠EMB=∠CBO，∴∠EBM=∠EMB，∴BE=EM，同理：FN=CF，∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF．