Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，AQPD为矩形．

（2）当t为何值时，AQPD为菱形．

（3）是否存在某一时刻t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 当t=时，AQPD是矩形；(2) 当t=时，□AQPD是菱形；(3)

【解析】

（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；

（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；

（3）过点P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面积和S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，进而建立方程即可得出结论．

解：（1）如图2，当AQPD是矩形时，PQ⊥AC，

∴PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC

∴=，

由运动知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，

即，=,

解之 t=，

∴当t=时，AQPD是矩形；

（2）当AQPD是菱形时，DQ⊥AP，AE=AP

则 cos∠BAC==，

由运动知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，

∴

解之 t=，

所以当t=时，□AQPD是菱形；

（3）存在时间t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积．

在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=4，

如图3，过点P作PM⊥AC于M．

则=，

即=，

故PM=（12﹣t）．

∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），

∴S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∵四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，

∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∴t= （舍）或t=.