Question

组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C3种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A和1个C．用库存的A、B、C3种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个B，C恰好用完．求证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完．

Answer 1

分析：易得库存的A，B，C的零件个数，假设生产甲x件，乙y件，丙z件恰好将3种零件都用完，等量关系为：甲的零件个数×2+丙的零件个数×2=A的零件总数；甲的零件个数×2+乙的零件个数×1=B的零件总数；乙的零件个数×1+丙的零件个数×1=C的零件总数；把所给式子整理，消去一个未知数，得到不存在的情况即可．

解答：解：由已知，库存的A、B、C3种零件的个数分别为：
A种2p+2r+2件，B种2p+q+1件，C种q+r件．
假设生产甲x件，乙y件，丙z件恰好将3种零件都用完，则由题意得：

2x+2z=2p+2r+2(1) 2x+y=2p+q+1(2) y+z=q+r(3)

（1）+（3）-（2）得：3z=3r+1它的左边是3的倍数，而右边却是3的倍数加1，矛盾，不成立，
所以不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完．

点评：考查反证法及三元一次方程组的应用；得到原料的代数式是解决本题的突破点；得到恰好用完各种原料的代数式是解决本题的关键；本题列出方程组后，没有解出x、y、z，而导出矛盾，而是巧妙地通过方程的加减得出矛盾式3z=3r+1，从而得出结论．所以有些数学问题应从整体上来把握解法．