Question

已知抛物线y=（1-m）x²+4x-3开口向下，与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁²+x₂²=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
（3）设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可从两点入手求解．由于抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，抛物线与x轴有两个交点，因此△＞0．联立两式即可求出m的取值范围；
（2）本题要根据一元二次方程根与系数的关系求解；
（3）先根据抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，然后根据直线AC的解析式求出D点的坐标，不难得出三角形ABC是个等腰直角三角形，因此∠BCD=90°，因此如果两三角形相似，夹直角的两条直角边应对应成比例，分不同的对应成比例情况进行求解即可．

解答：解：（1）

1-m＜0，① 42-4(1-m)×(-3)＞0，②

由①式得：m＞1；
由②式得：m＜

7

3

∴1＜m＜

7

3

；

（2）依题意有：x₁+x₂=

4

m-1

，x₁x₂=

3

m-1

，又x₁²+x₂²=10
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10
∴

16

(m-1)2

-

6

m-1

=10
化简得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-

3

5

，m=2
由（1）值：m=-

3

5

应舍去，
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（3）将抛物线配方得：y=-（x-2）²+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
与x轴交点为（1，0）（3，0），
与y轴交点为（0，-3），
可画出抛物线的示意图（如图）
∵A（1，0），B（3，0），C（2，1）
∴△ABC为等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D（0，-1），
易得：BC=

2

，CD=2

2

依题意，设点P（0，y）
若△POB∽△BCD
则

OP

BC

=

OB

CD

或

OB

BC

=

OP

CD

∴

|y|

2

=

3

2 2

或

3

2

=

|y|

2 2

∴|y|=

3

2

或|y|=6
∴y=±

3

2

或y=±6．
∴当P点坐标为（0，

3

2

）（0，-

3

2

）（0，6）（0，-6）时，可使△POB∽△BCD．

点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定等知识点．