Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=

1

2x

的图象在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和F．
（1）求△OEF的面积（a，b的代数式表示）；
（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由；
（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），
当PM、PN与线段AB都相交时，如图1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×(1-a)-

1

2

×1×(1-b)
=

a+b-1

2

，
当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=

1

2

×1×b+

1

2

×1×（a-1）=

a+b-1

2

，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=

1

2

×1×(b-1)+

1

2

×1×a=

a+b-1

2

，
即S_△EOF=

a+b-1

2

；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵点P是函数y=

1

2x

图象上任意一点，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；

（3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．