已知顶点为
A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1).(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△
PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围;②在①的条件下,记△
PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式,并求S的最大值.
解: (1)∵抛物线的顶点为A(1,5),∴设抛物线的解析式为 ,将点 B(5,1)代入,得,解得 ,∴ (2)作A关于y轴的对称点,作B关于x轴的对称点,显然, 如图 (5,1),连结分别交x轴、y轴于C、D两点,∵ ,∴此时四边形 ABCD的周长最小,最小值就是.而 ,∴ 四边形 ABCD周长的的最小值为.(3)①点B关于x轴的对称点(),点A关于y轴的对称点(﹣1,5),连接,与x轴,y轴交于C,D点, ∴ CD的解析式为:,联立 ,得: ∵点 P在上,点Q是OP的中点,∴要使等腰直角三角形与直线 CD有公共点,则.故 的取值范围是:.②如图: 点 E(2,2),当EP=EQ时,,得:,当 时,
当 时,.当 时,当 时,.故 S的最大值为:. |
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