Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．

(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若∠C＝30°，⊙O的半径为6，求弓形AF的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）

【解析】

（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；

（2）求出△FOA是等边三角形，分别求出扇形FOA和△FOA的面积，即可得出答案．

（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵AO＝BO，

∴DO∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD过O，

∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；

（2）连接OF，过O作OH⊥AF于H，

∵∠C＝30°，AC＝AB，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠FAB＝∠B+∠C＝60°，

∵OF＝OA，

∴△FOA是等边三角形，

∴AF＝OA＝OF＝6，∠FOA＝60°，

∵OH⊥AF，

∴AH＝FH＝3，由勾股定理得：OH＝，

∴弓形AF的面积S＝S扇形FOA﹣S△FOA＝＝．