Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），在B在y轴的正半轴上，且S△AOB=24．
（1）求点B坐标；
（2）若点P从B出发沿y轴负半轴运动，速度每秒2个单位，运动时间t秒，△AOP的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若S△AOP：S△ABP=1：3，且S△AOP+S△ABP=S△AOB ， 在线段AB的垂直平分线上是否存在点Q，使得△AOQ的面积与△BPQ的面积相等？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵点A坐标为（6，0），
∴OA=6，
∴S△AOB=×OA×OB=24，
则OB=8，
∴点B坐标为（0，8）；
（2）当0≤t＜4时，S=×（8﹣2t）×6=24﹣6t，
当t≥4时，S=×（2t﹣8）×6=6t﹣24；
（3）∵S△AOP+S△ABP=S△AOB ，
∴点P在线段OB上，
∵S△AOP：S△ABP=1：3，
∴OP：BP=1：3，
又∵OB=8，
∴OP=2，BP=6，
线段AB的垂直平分线上交OB于E，交AB于F，
∵OB=8，OA=6，
∴AB==10，
则点F的坐标为（3，4），
∵EF⊥AB，∠AOB=90°，
∴△BEF∽△BAO，
∴=，即=，
解得，BE=，
则OE=8﹣=，
∴点E的坐标为（0，），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则，
解得，k=，b=，
∴直线EF的解析式为y=x+，
∵△AOQ的面积与△BPQ的面积相等，又OA=BP，
∴x=y，或x=﹣y，
当x=y时，x=x+，解得，x=7，
则Q点坐标为（7，7）；
当x=﹣y时，﹣x=x+，解得，x=﹣1，
则Q点坐标为（﹣1，1），
∴Q点坐标为（7，7）或（﹣1，1）．

【解析】（1）根据三角形的面积公式求出OB的长即可；
（2）分0≤t＜4和t≥4两种情况，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据题意和三角形的面积公式求出OP、BP的长，根据相似三角形的性质求出点E的坐标，根据中点的性质确定点F的坐标，运用待定系数法求出直线ef的解析式，根据等底的两个三角形面积相等，它们的高也相等分x=y和x=﹣y两种情况计算即可．