Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，直线x=﹣4交x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，点E在直线x=﹣4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d₁，d₂，d₃，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出d₃的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为。

 （2）∵点P在抛物线上，点E在直线x=﹣4上，

设点P的坐标为（m，，点E的坐标为（﹣4，n），

如图1，∵点A（﹣8，0），∴AO=8。

①当AO为一边时，EP∥AO，且EP=AO=8，

∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。

∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。

②当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故CE=CP。

∴，解得：。

∴P₃ （﹣4，﹣6）。

综上所述，当P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃ （﹣4，﹣6）时，A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形。

（3）存在4条符合条件的直线。d₃的值为。

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：

①以AO为一边的平行四边形，有2个；

②以AO为对角线的平行四边形，有1个，此时点P和点E必关于点C成中心对称。

（3）存在4条符合条件的直线。

如图2所示，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，

由题意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），

∴OC=4，OB=2，CD=6。∴△CDB为等腰直角三角形。

∴CH=CD•sin45°=6×=。

∵BD=2CH，∴BD=。

①∵CO：OB=2：1，

∴过点O且平行于BD的直线l₁满足条件。

作BE⊥直线l₁于点E，DF⊥直线l₁于点F，设CH交直线l₁于点G，

∴BE=DF，即：d₁=d₂。

则，即，∴d₃=2d₁，∴。

∴CG=CH，即d₃=。

②如图2，在△CDB外作直线l₂∥DB，延长CH交l₂于点G′，使CH=HG′，

∴d₃=CG′=2CH=。

③如图3，过H，O作直线l₃，作BE⊥l₃于点E，DF⊥l₃于点F，CG⊥l₃于点G，

由①可知，DH=BH，则BE=DF，即：d₁=d₂．

∵CO：OB=2：1，∴。

作HI⊥x轴于点I，

∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。

∴。

∵△OCH的面积=×4×3=×d₃，∴d₃=。

④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线l₄，易证：

，d₃=。

综上所述，存在直线l，使．d3的值为：。