【题目】(1)如图1,点为线段外一动点,且,,填空:当点位于__________时,线段的长取到最大值__________,且最大值为;(用含、的式子表示).
(2)如图2,若点为线段外一动点,且,,分别以,为边,作等边和等边,连接,.
①图中与线段相等的线段是线段__________,并说明理由;
②直接写出线段长的最大值为__________.
(3)如图3,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点为线段外一动点,且,,,请直接写出线段长的最大值为__________,及此时点的坐标为__________.(提示:等腰直角三角形的三边长、、满足)
【答案】CB的延长线上; a+b; CD=BE,证明见解析; 9; ; 或.
【解析】
(1) 根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论; .
(2) ①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1) 中的结论即可得到结果;
(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=4, BN=AM.根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为如图2.过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
解: (1) ∵点A为线段BC外一动点,且BC=a, AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.
故答案为: CB的延长线上,a+b;
(2) ①CD=BE,
理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,
∴△CAD≌△EAB (SAS) ,
∴CD=BE.
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=9;
故答案为:CD=BE,9.
(3)如图1:
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形。
∴PN=PA=2,BN=AM, .
∵A的坐标为(4. 0),点B的坐标为(10, 0) ,
∴OA=4,OB=10,
∴AB=6.
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN,
∵
∴最大值为:
如图2.
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴ ,
∴
∴ .
如图3中,
根据对称性可知当点P在第四象限时,时,也满足条件.
综上所述,满足条件的点P坐标 或 ,AM的最大值为.
故答案为:, 或
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于A,C(A在C的左侧),点B在抛物线上,其横坐标为1,连接BC,BO,点F为OB中点.
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)若点D为抛物线第四象限上的一个动点,连接BD,CD,点E为x轴上一动点,当△BCD的面积的最大时,求点D的坐标,及|FE﹣DE|的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=a(x﹣)(x+)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线DE是抛物线的对称轴,点D在x轴上,点E在抛物线上,直线y=kx+过点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限对称轴左侧抛物线上一点,过点P作PQ∥AC交对称轴于点Q,设点P的横坐标为t,线段QD的长为d,求d与t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,直线AC与对称轴交于点F,点M在对称轴ED上,连接AM、AE,∠AMD=2∠EAM,过点A作AG⊥AM交过点D平行于AE的直线于点G,点N是线段BP延长线上一点,连接AN、MN、NF,若四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等,且FN∥AM,求点P的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数()的图象与反比例函数(k≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH=,点B的坐标为(m,﹣2).求:
(1)反比例函数和一次函数的解析式;
(2)写出当反比例函数的值大于一次函数的值时的取值范围.
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【题目】如图,抛物线的图象与轴交于、两点(点在点的左边),与轴交于点,,点为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为线段上一点(点不与点、重合),过点作轴的垂线,与直线交于点,与抛物线交于点,过点作交抛物线于点,过点作轴于点,可得矩形,如图1,点在点左边,当矩形的周长最大时,求的值,并求出此时的的面积;
(3)已知,点在抛物线上,连,直线,垂足为,若,求点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+mx+n经过点B(6,1),C(5,0),且与y轴交于点A.
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标;
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点,过点P作PQ⊥OA,交线段OA的延长线于点Q,如果∠PAB=45°.求证:△PQA∽△ACB;
(3)若点F是线段AB(不包含端点)上的一点,且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上,求FF′的长.
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