Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．
求：
（1）tanC；
（2）图中两部分阴影面积的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OE，

∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，

∴AD⊥OD，AE⊥OE，

∴∠ADO=∠AEO=90°，

又∵∠A=90°，

∴四边形ADOE是矩形，

∵OD=OE，

∴四边形ADOE是正方形，

∴OD∥AC，OD=AD=3，

∴∠BOD=∠C，

∴在Rt△BOD中， ，

∴ ．

答：tanC=

（2）解：如图，设⊙O与BC交于M、N两点，

由（1）得：四边形ADOE是正方形，

∴∠DOE=90°，

∴∠COE+∠BOD=90°，

∵在Rt△EOC中， = ，OE=3，

∴ ，

∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE= ，

∴S阴影=S△BOD+S△COE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）= ，

答：图中两部分阴影面积的和为 ．

【解析】（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；（2）设⊙O与BC交于M、N两点，由（1）得：四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据 ，OE=3，求出 ，根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE ， 即可求出阴影部分的面积．