【题目】如图1所示,OA是⊙O的半径,点D为OA上的一动点,过D作线段CD⊥OA交⊙O于点F,过点C作⊙O的切线BC,B为切点,连接AB,交CD于点E.
(1)求证:CB=CE;
(2)如图2,当点D运动到OA的中点时,CD刚好平分,求证:△BCE是等边三角形;
(3)如图3,当点D运动到与点O重合时,若⊙O的半径为2,且∠DCB=45°,求线段EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】(1)在图1中,连接OB,根据切线的性质可得出∠OBC=90°,由OA=OB可得出∠DAE=∠OBA,根据等角的余角相等可得出∠DEA=∠CBE,再结合对顶角相等即可得出∠CEB=∠CBE,利用等角对等边可证出CB=CE;
(2)在图2中,连接OF,OB,在Rt△ODF中,由OF=2OD可得出∠DOF=60°,结合CD刚好平分,可得出∠AOB=2∠AOF=120°,再利用四边形内角和为360°可求出∠C=60°,结合CB=CE即可证出△BCE是等边三角形;
(3)在图3中,连接OB,则△OBC为等腰直角三角形,进而可求出OC的长度,结合(1)的结论可求出OE的长度,再根据EF=DF-OE即可求出线段EF的长.
证明:(1)在图1中,连接OB.
∵CB为⊙O的切线,切点为B,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°.
∵OA=OB,
∴∠DAE=∠OBA.
∵∠DAE+∠DEA=90°,∠OBA+∠CBE=90°,
∴∠DEA=∠CBE.
∵∠CEB=∠DEA,
∴∠CEB=∠CBE,
∴CB=CE.
(2)在图2中,连接OF,OB.
在Rt△ODF中,OF=OA=2OD,
∴∠OFD=30°,
∴∠DOF=60°.
∵CD刚好平分,
∴∠AOB=2∠AOF=120°,
∴∠C=360°﹣∠ODC﹣∠OBC﹣∠AOB=60°.
∵CB=CE,
∴△BCE是等边三角形.
(3)解:在图3中,连接OB.
∵∠OBC=90°,∠DCB=45°,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴BC=OB=2,OC=2.
又∵CB=CE,
∴OE=OC﹣CE=OC﹣BC=2﹣2,
∴EF=DF﹣OE=2﹣(2﹣2)=4﹣2
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【题目】如图,四幅图象分别表示变量之间的关系,请按图象的顺序,将下面的四种情境与之对应排序.正确的顺序是( )
①篮球运动员投篮时,投出去的篮球的高度与时间的关系
②去超市购买同一单价的水果,所付费用与水果数量的关系
③李老师使用的是一种含月租的手机计费方式,则他每月所付话费与通话时间的关系
④周末,小明从家到图书馆,看了一段时间书后,按原速度原路返回,小明离家的距离与时间的关系
A. ①②③④ B. ①③④② C. ①③②④ D. ①④②③
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【题目】如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…如此进行下去,直至得C17.
(1)写出点的坐标________
(2)若P(50,m)在第17段抛物线C17上,则m=_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、F、G.
(1)点F到△ABC的边_______的距离相等,点F到△ABC的顶点______的距离相等.
(2)若BC=6,AD=9,求AF的值.
(3)连接CG交AD于点H,当∠BAC是多少度时,△FGH为等腰三角形?
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【题目】盐城市初级中学为了缓解校门口的交通堵塞,倡导学生步行上学. 小丽步行从家去学校,图中的线段表示小丽步行的路程s(米)与所用时间t(分钟)之间的函数关系. 试根据函数图像回答下列问题:
(1)小丽家离学校 米;
(2)小丽步行的速度是 米/分钟;
(3)求出m的值.
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【题目】在学校开展的数学活动课上,小明和小刚制作了一个正三楼锥(质量均匀,四个面完全相同),并在各个面上分别标记数字1,2,3,4,游戏规则如下每人投掷三棱锥两次,并记录底面的数字,如果两次所掷数字的和为单数,那么算小明赢,如果两欢所掷数字的和为偶数,那么算小明赢;
(1)请用列表或者面树状围的方法表示上述游戏中的所有可能结果.
(2)请分别隶出小明和小刚能赢的概率,并判新游戏的公平性.
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