分析 (1)由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,可求得∠A=∠B=45°,又由∠CDE=45°,利用平角与三角形内角和定理,求得∠ADC=∠DEB,继而证得:△CAD∽△DBE;
(2)由AD=2,可求得BD的长,由等腰直角三角形的性质,可求得CA与CB的长,然后由△CAD∽△DBE,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得CE的长;
(3)分别从CD=DE与CE=DE去分析求解即可求得答案.
解答 (1)证明:∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠A=∠B=45°,
又∵∠ADC=180°-45°-∠EDB,∠DEB=180°-45°-∠EDB,
∴∠ADC=∠DEB,
∴△CAD∽△DBE;
(2)解:∵∠ACB=90°,CA=CB,AB=8.
∴CA=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$,DB=AB-AD=8-2=6,
又∵△CAD∽△DBE,
∴$\frac{CA}{DB}=\frac{AD}{BE}$.
即$\frac{{4\sqrt{2}}}{6}=\frac{2}{BE}$,
∴$BE=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$,
∴$CE=CB-BE=4\sqrt{2}-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$;
(3)解:∵∠DCE<ACB,
∴CD≠CE,
当CD=DE时,
∵△CAD∽△DBE,
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=1,
∴DB=AC=4$\sqrt{2}$;
如图,当DE=CE时,∠ECD=∠EDC=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ECD=45°,
∵AC=BC,
∴DB=AD=$\frac{1}{2}$AB=4.
∴当△CDE为等腰三角形时,DB=4$\sqrt{2}$或4.
点评 此题属于相似三角形的综合题.考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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A. | $\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$ | B. | $\frac{AE}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$ | C. | $\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$ | D. | $\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$ |
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A. | x+2y=1 | B. | 2x(x-1)-2x+3=0 | C. | $\frac{1}{{x}^{2}}$+4x=3 | D. | x2-2xy=0 |
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