Question

1．已知二次函数y=x²+（2m-2）x+m²-2m-3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）如果二次函数的图象经过原点．
①求m的值；
②若m＜0，点C是一次函数y=-x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB=90°，求b的取值范围；
（2）当-3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①由二次函数图象过原点，可得出m²-2m-3=0，解之即可得出m的值；
②由m＜0可确定m值，将其代入二次函数关系式中令y=0，即可求出点A、B的坐标，以AB为直径作⊙P，画出当一次函数y=-x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C时的图象，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出AE=AF，再结合切线的性质，即可得出△PCF为等腰直角三角形，进而可求出PF、AF的长，依此即可得出b的取值范围；
（2）将二次函数关系式变形为顶点式，分1-m≤-0.5和1-m＞-0.5两种情况，找出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）①∵二次函数的图象经过原点，
∴m²-2m-3=0，
解得：m₁=-1，m₂=3．
②∵m＜0，
∴m=-1．
把m=-1代入y=x²+（2m-2）x+m²-2m-3中，得：y=x²-4x．
当y=x²-4x=0时，x₁=0，x₂=4，
∴AB=4．
以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y=-x+b（b＞0）的图象与圆相交时，可得∠ACB=90°．
如图，一次函数y=-x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF=90°．
当x=0时，y=-x+b=b，
∴点E（0，b）；
当y=-x+b=0时，x=b，
∴点F（b，0）．
∴AE=AF=b，
∴∠PFC=45°．
又∵∠PCF=90°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，
∴b=AF=2+2$\sqrt{2}$．
∴b的取值范围为0＜b≤2+2$\sqrt{2}$．

（2）∵y=x²+（2m-2）x+m²-2m-3=（x+m-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=1-m．
①当1-m≤-0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x=2时，函数最大值为5，
∴（2+m-1）²-4=5，
解得：m=2或m=-4（舍去）；
②当1-m＞-0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x=-3时，函数最大值为5，
∴（-3+m-1）²-4=5，
解得：m=1或m=7（舍去）．
综上所述，m=2或m=1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）①由抛物线过原点，找出m²-2m-3=0；②利用切线的性质求出b的最大值；（2）分1-m≤-0.5和1-m＞-0.5两种情况，找出关于m的一元二次方程．