Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中轴上，折叠边AD，使点D落在轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为，其中＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；
（3）设抛物线经过图（1）中的A、E两点，如图（2），其顶点为M，连结AM，若∠OAM=90°，求、、的值.

Answer 1

（1）E(m+10，3)，F（m+6，0）；（2）6或4或；（3），-1，12

试题分析：（1）∵根据矩形的性质可得AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠对称性可得AF=AD=10，FE=DE，在Rt△ABF中，根据勾股定理可求得BF的长，从而可得FC的长，设DE=x，在Rt△ECF中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到CE的长，即得结果；
（2）分三种情形讨论：若AO=AF，若OF=AF，若AO=OF，根据等腰三角形的性质及勾股定理求解；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3)，再代入抛物线即可求得、的值，从而表示出点M的坐标，设对称轴交AD于G，即可表示出点G的坐标，求得AG、GM的长，再证得△AOB∽△AMG，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC="4."
设DE=x，在Rt△ECF中，，解得
∴CE= 
∵B（m，0）
∴E(m+10，3)，F（m+6，0）；
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.  
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴，解得m=.   
综合得m=6或4或；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3).
由题意得， 解得  
∴M（m+6，﹣1）.
设对称轴交AD于G.
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.  
∴，即
∴m=12.
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.