Question

18．△ABC的边BC在直线l上，点D，E是直线l上的两点，且BA=BD，CA=CE
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，求∠CAE的度数；
（2）如图2，若∠BAC=90°，求∠CAE的度数；
（3）如图3，设∠BAC=α，∠DAE=β，请直接写出α与β的关系式．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠D=∠DAB，∠AEC=∠CAE，由于∠ABC=∠ACB=45°，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）由直角三角形的性质得到∠ACB+∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BDA，∠AEC=∠∠CAE，于是得到∠ACD=2∠CAE，求得∠ADB=∠ACD+∠DAC，由于∠BAD+∠DAC=90°，于是得到∠CAE+∠DAC+∠DAC=90°，求出∠CAE+∠DAC=45°于是得到结果；
（3）根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=180°-α，根据等腰三角形的性质得到∴∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-∠ABD}{2}$，∠AEC=∠CAE=$\frac{180°-∠ACE}{2}$，由于∠BAC+∠DAE=α+β=∠BAD+∠CAE=$\frac{160°-（∠ABD+∠ACE）}{2}$=$\frac{180+α}{2}$，于是得到结果．

解答 解：（1）∵BA=BD，CA=CE，
∴∠D=∠DAB，∠AEC=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACB=∠AEC+∠CAE=2∠CAE，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°；

（2）∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CA=CE，
∴∠AEC=∠CAE，
∴∠ACD=2∠CAE，
∴∠ADB=∠ACD+∠DAC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE+∠DAC+∠DAC=90°，
∴∠CAE+∠DAC=45°，
∴∠DAE=45°；

（3）∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-∠ABD}{2}$，
∵AC=CE
∴∠AEC=∠CAE=$\frac{180°-∠ACE}{2}$，
∵∠BAC+∠DAE=α+β=∠BAD+∠CAE=$\frac{160°-（∠ABD+∠ACE）}{2}$=$\frac{180+α}{2}$，
∴$β+\frac{α}{2}$=180°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．