Question

18．如图，已知CA=CB，∠ACB=90°，∠CBD=30°，CD∥AB．
（1）将线段CD绕C点顺时针旋转90°到CE处，请在图中完成作图；
（2）在（1）中，连EB，求∠CEB的度数；
（3）求$\frac{BD}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图，作CE⊥CD且CE=CD；
（2）延长BC交DE于H，如图，根据等腰三角形的性质得∠CAB=∠CBA=45°，则∠1=45°-∠3=15°，再利用平行线的性质得∠2=∠1=15°，接着根据旋转的性质得CD=CE，∠DCE=90°，则∠CDE=∠CED=45°，易得∠BDH=60°，∠BHD=90°，然后根据等腰三角形的性质得DH=EH，于是利用线段垂直平分线的性质得BD=BE，则可判断△BDE为等边三角形，得到∠BED=60°，于是得到∠CEB=15°；
（3）作AF⊥CD于F，如图，设CH=DH=HE=a，则CD=$\sqrt{2}$a，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD=2DH=2a，BH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，则BC=AC=（$\sqrt{3}$-1）a，在等腰直角△ACF中，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a，所以DF=CD-CF=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$a，于是在Rt△ADF中，利用勾股定理可计算出AD=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，所以$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）如图1，CE为所作；

（2）延长BC交DE于H，如图2，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠1=45°-∠3=15°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠1=15°，
∵线段CD绕C点顺时针旋转90°到CE处，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠BDH=∠2+∠CDH=60°
∴∠BHD=90°，
∴CH⊥DE，
∴DH=EH，
∴BD=BE，
而∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠CEB=60°-45°=15°；
（3）作AF⊥CD于F，如图3，设CH=DH=HE=a，则CD=$\sqrt{2}$a，

在Rt△BDH中，BD=2DH=2a，BH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，
∴BC=$\sqrt{3}$a-a=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴AC=（$\sqrt{3}$-1）a，
∵∠4=∠CAB=45°，
在Rt△ACF中，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{3}$-1）a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a，
DF=CD-CF=$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{（8-4\sqrt{3}）{a}^{2}}$=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2a}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）a}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．本题的关键是证明BC与DE垂直，从而找到CD和BC的数量关系．