如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=x2+x+5k 与x轴交于点A.B.与y轴交于点C.点D在坐标平面内.AD⊥BC.OD=5.点E在抛物线上.OD⊥OE.OD=OE.(1)求抛物线解析式,(2)过点C作直线l∥x轴.x轴上有一个动点F.过F作FM⊥BC.FN⊥直线l.分别交线段BC.直线l于点M.N.设△CMN的面积为S.点F的横坐标为t.求S与t之间的函数关系式.并写出相应� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+（5k+1）x+5k （5k＞1）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D在坐标平面内，AD⊥BC，OD=5，点E在抛物线上，OD⊥OE，OD=OE，
（1）求抛物线解析式；
（2）过点C作直线l∥x轴，x轴上有一个动点F，过F作FM⊥BC、FN⊥直线l，分别交线段BC、直线l于点M、N，设△CMN的面积为S，点F的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当点F在x轴正半轴时，将∠MFN绕点F顺时针旋转30°，角的两边分别交射线BC和直线l于点P、Q，当PF平分∠BPQ时，求F点坐标．

分析（1）如图1中，作DF⊥x轴于F，EG⊥y轴于G．首先求出A、B坐标，设DF=AF=a，则OF=a+1，在Rt△DOF中，利用勾股定理求出a，再证明△ODF≌△OEG，
推出EG=DF=3，OG=OF=4，由此即可解决问题．
（2）分两种情形讨论即可①当t＞0时，如图2中，过M作GH⊥x轴于H，交l于G，则GH⊥l，HG=OC=OB=5，②当-5＜t＜0时，如图3中，分别求解即可．
（3）如图4中，在PB上取一点G，使得PG=PQ，作GH⊥x轴于H，连接FG．由△PFG≌△PFQ，推出GF=QF，∠PFG=∠PFQ，由∠7=∠MFN=45°，推出∠1=∠3=15°，由∠BFM=∠MFN=45°，推出∠1+∠α=45°，推出∠α=30°，再证明BH=OF=GH，求出GH即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，作DF⊥x轴于F，EG⊥y轴于G．

∵y=x²+（5k+1）x+5k=（x+5k）（x+1），
令y=O，得（x+5k）（x+1）=0，
解得x=-1或-5k，∵5k＞1，
∴-5k＜-1，
∴A（-1，0），B（-5k，0），OA=1，
令x=0，得y=5k，
∴C（0，5k），
∴OB=OC=5k，
∴∠1=∠3=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵DF⊥AF，
∴DF=AF，DF=AF=a，则OF=a+1，
在Rt△ADF中，∵OD=5，DF=a，OF=a+1，
∴a²+（a+1）²=25，
∴a=3或-4（舍弃），
∴DF=3，OF=4，
∵OD⊥OE，OD=OE=5，
∵∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠5，∵∠DFO=∠EGO=90°，
∴△ODF≌△OEG，
∴EG=DF=3，OG=OF=4，
∴E（-3，-4），
∵E（-3，-4）在抛物线上，
∴（-3）²-3（5k+1）+5k=-4，
∴k=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+6x+5．

（2）如图2中，当t=5时，点M、F、B为同一点，
当t=0时，点N与C重合，
当t=5时，点M与C重合，此三种时刻都不能构成三角形，
∴t≠-5且t≠0且t≠5．
①当t＞0时，如图2中，过M作GH⊥x轴于H，交l于G，则GH⊥l，HG=OC=OB=5，

∵FM⊥BC，∠1=45°，
∴∠2=∠1=45°，
∴MB=MF，
∴MH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（t+5），
∴MG=5-MH=$\frac{1}{2}$（5-t），
∵CN=OF，OF=t，
∴CN=t，
∴S=$\frac{1}{2}$•CN•GM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$（5-t）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{4}$t．（0＜t＜5）．

②当-5＜t＜0时，如图3中，

此时CN=OF=-t，MG=$\frac{1}{2}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$CN•MG=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{4}$t，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{5}{4}t}&{（0＜t＜5）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{5}{4}t}&{（-5＜t＜0）}\end{array}\right.$．

（3）如图4中，在PB上取一点G，使得PG=PQ，作GH⊥x轴于H，连接FG．

由题意∠2=∠4=30°，∠8=∠9，∵PF=PF，
∴△PFG≌△PFQ，
∴GF=QF，∠PFG=∠PFQ，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∵FM⊥BC，FN⊥CQ，
∴∠7=∠MFN=45°，
∴∠1=∠3=15°，
∵∠BFM=∠MFN=45°，
∴∠1+∠α=45°，
∴∠α=30°，
∵FG=FQ，∠FHG=∠FNQ，∠α=∠4，
∴△FGH≌△FQN，
∴HF=FN=OF+OH=OB=OH+BH=5，
∴OF=HB，∵α=30°，在Rt△FGH中，FH=$\sqrt{3}$GH=5，
∴GH=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∵∠5=45°，
∴∠5=∠HGB=45°，
∴OF=BH=GH=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∴点F坐标为（$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，0）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目条件比较多，有点难度，属于中考压轴题．

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