Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．

（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．

①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是　 　，最大值是　 　；

②在P1（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是　 　

（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．

（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3，，P1；（2）满足条件的x的值为≤x≤3；（3）满足条件的b的值为≤b≤5．

【解析】

（1）①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理得出结果；②由题意知P1；
（2）如图，可得OE1=3，解得此时x=，OE2=7，解得x=3，可求出范围；
（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．

（1）①由题意知：OA＝3，OB＝，则d的最小值是3，最大值是 ；

②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，

故答案为3， ，P1．

（2）如图2中，

由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，

∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x＝

同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝

综上所述，满足条件的x的值为

（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，

∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，

如图3﹣1中，当CK＝6时，作CM⊥HK于H．

由题意：

解得：或（舍弃），

如图3﹣3中，当CH＝6时，同法可得

在两者中间时，a＝0，b＝5，

观察图象可知：满足条件的b的值为