Question

16．O和H分别是△ABC的外心和垂心，若∠BAC=60°，求证：B、0、H、C的共圆．

Answer 1

分析 连接BH并延长交AC于E，连接BH并延长交AB于F，由圆周角定理得出∠BOC=2∠BAC=120°，求出∠ABE=30°，同理得出∠ACF=30°，求出∠BHC=120°，即可得出结论．

解答 证明：连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，连接OB、OC，如图所示：
∵O是三角形的外心，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）
又∵垂心为点H，
∴BE⊥AC，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
同理：∠ACF=30°，
∴∠HBC+∠HCB=180°-（∠BAC+∠ABE+∠ACF）=60°，
∴∠BHC=180°-（∠HBC+∠HCB）=180°-60°=120°，
∴∠BOC=∠BHC，
又∵O，H在BC边同侧，
∴B，C，O，HI四点共圆．

点评 本题是四点共圆题目，考查了四点共圆的判定方法、圆周角定理、三角形的外心以及垂心的运用等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结论．