【题目】如图,已知:在坐标平面内,等腰直角中,,,点的坐标为,点的坐标为,交轴于点.
(1)求点的坐标;
(2)求点的坐标;
(3)如图,点在轴上,当的周长最小时,求出点的坐标;
(4)在直线上有点,在轴上有点,求出的最小值.
【答案】(1)点的坐标为;(2)点的坐标为;(3)点的坐标为;(4)最小值为9.
【解析】
(1)过C作直线EF∥x轴,分别过点A、B作直线EF的垂线,垂足分别为E、F,证明ΔACE≌ΔCBF,得到CF=AE,BF=CE,即可得到结论;
(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为G、H易证ΔAGD≌ΔBHD,得到GD=HD.由G(-3,0),H(1,0),即可得到结论;
(3)作点A(-5,1)关于轴的对称点A' (-5,-1),连接AP,A' P,A' C.过A' 作A' R⊥y轴于R,则AP=A' P,根据ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C.根据△A'RC和△COP都是等腰直角三角形,得到PO=CO=4,从而得到结论.
(4)作点B关于直线AC的对称点B'.过B'作B'R⊥y轴于R,过B作BT⊥y轴于T.可证明△B'RC≌△BTC,根据全等三角形对应边相等可B'的坐标.过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M,交x轴于点N,则BM+MN=B'M+MN.根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长.即可得到结论.
(1)如图,过C作直线EF∥x轴,分别过点A、B作直线EF的垂线,垂足分别为E、F,
∴∠E=∠F=90°,
∴∠EAC+∠ECA=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCF+∠ECA=90°,
∴∠BCF=∠EAC.
又∵AC=BC,
∴ΔACE≌ΔCBF,
∴CF=AE,BF=CE.
∵点A(-5,1),点C(0,4),
∴CF=AE=3,BF=CE=5,且5-4=1,
∴点B的坐标为(3,-1);
(2)如图,分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为G、H,
∴∠AGD=∠BHD=90°.
又∵∠ADG=∠BDH,AG=BH=1,
∴ΔAGD≌ΔBHD,
∴GD=HD.
∵G(-3,0),H(1,0),
∴GH=4,
∴GD=HD=2,
∴OD=OG-GD=3-2=1,
∴点D的坐标为(-1,0);
(3)作点A(-5,1)关于轴的对称点A' (-5,-1),连接AP,A' P,A' C.过A' 作A' R⊥y轴于R.
则AP=A' P,
∴ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C.
∵A'R=5,CR=CO+OR=4+1=5,
∴A'R=CR,
∴△A'RC是等腰直角三角形,
∴∠CA'R=45°.
∵A'R∥x轴,
∴∠CPO=∠CA'R=45°,
∴△COP是等腰直角三角形,
∴PO=CO=4,
∴点P的坐标为(-4,0).
(4)如图,作点B(3,-1)关于直线AC的对称点B'.过B'作B'R⊥y轴于R,过B作BT⊥y轴于T.
∵BC=B'C,∠B'RC=∠BTC=90°,∠B'CR=∠BCT,
∴△B'RC≌△BTC,
∴B'R=BT=3,CR=CT=CO+OT=4+1=5,
∴OR=OC+CR=4+5=9,
∴B'(-3,9).
过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M,交x轴于点N,则BM+MN=B'M+MN.
根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长.
故BM+MN的最小值为9.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)连接BD,求证:△ABD是等边三角形;
(2)试猜想:线段AE、AF与AD之间有怎样的数量关系?并给以证明.
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【题目】某快递公司每天上午9:00~10:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲,乙两仓库的快件数量(件)与时间(分)之间的函数图象如图所示,那么当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为( )
A. 9:15B. 9:20C. 9:25D. 9:30
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【题目】对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点(1,-3)
B. 图象分布在第二、四象限
C. 当x>0时,y随x的增大而增大
D. 点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-的图象上,若x1<x2,则y1<y2
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【题目】如图,一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点,与反比例函数 y= 的图象在第一象限的交点为点 C,CD⊥x 轴,垂足为点 D,若OB=3,OD=6,△AOB 的面积为 3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)直接写出当 x>0 时,kx+b﹣>0 的解集.
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【题目】如图,在中,,,,点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以2的速度移动.
(1)如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的面积等于6?
(2)如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的长度等于7?
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在边AB,BC上,且AE=BF=1,CE,DF交于点O,下面结论:(1)∠DOC=90°;(2)OC=OE ;(3)S△ODC=S四边形BEOF.
其中正确的有____________(只填写序号)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(﹣1,2),(2,1),若抛物线y=ax2﹣x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是( )
A. a≤﹣1或≤a< B. ≤a<
C. a≤或a> D. a≤﹣1或a≥
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