Question

【题目】如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3，抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；

（3）存在，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；

（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；

（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．

试题解析：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵点B（0，3）在抛物线上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．

（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．

直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）．

设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，

∴△MCD为等腰直角三角形．

∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，

∴△BND为等腰直角三角形．

如答图1所示：

（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，

∴N1（0，0）；

（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，﹣3）．

∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．

（3）方法一：

假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．

（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．

S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）m﹣×3×3﹣（m﹣3）n=6，

化简得：m+n=7 ①，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，

解得：m1=4，m2=﹣1，

∴n1=3，n2=8，

∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；

（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：

过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．

S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）m=6，

化简得：m+n=﹣1 ②，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．

故此时点P不存在．

综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

方法二：

假设存在点P，使S△PBD=6，

过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d，

∵BD==3，

∴S△PBD=BD×d，

∴d=2，

∵BD与y轴夹角为45°，

∴BB′=4，

∴将BD上移或下移4个单位，

①上移4个单位，l解析式为：y=﹣x+7，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x﹣4=0，

∴x1=4，x2=﹣1，

②下移4个单位，l解析式为y=﹣x﹣1，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x+4=0，△＜0，∴此方程无解，

综上所述，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．