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如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将△ADE翻折(使△ADE落精英家教网在四边形DBCE所在的平面内),所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示△ADE的面积;
(2)求出0<x≤5时y与x的函数关系式;
(3)求出5<x<10时y与x的函数关系式;
(4)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?
分析:(1)由于DE∥BC,可得出三角形ADE和ABC相似,那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积.
(2)由于DE在三角形ABC的中位线上方时,重合部分的面积就是三角形ADE的面积,而DE在三角形ABC中位线下方时,重合部分就变成了梯形,因此要先看0<x≤5时,DE的位置,根据BC的长可得出三角形的中位线是5,因此自变量这个范围的取值说明了A′的落点应该在三角形ABC之内,因此y就是(1)中求出的三角形ADE的面积.
(3)根据(2)可知5<x<10时,A′的落点在三角形ABC外面,可连接AA1,交DE于H,交BC于F,那么AH就是三角形ADE的高,A′F就是三角形A′DE的高,A′F就是三角形A′MN的高,那么可先求出三角形A′MN的面积,然后用三角形ADE的面积减去三角形A′MN的面积就可得出重合部分的面积.求三角形A′MN的面积时,可参照(1)的方法进行求解.
(4)根据(2)(3)两个不同自变量取值范围的函数关系式,分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值,然后找出最大的y的值即可.
解答:解:(1)∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
SADE
SABC
=(
DE
BC
)2

即S△ADE=
1
4
x2

(2)∵BC=10,
∴BC边所对的三角形的中位线长为5,
∴当0<x≤5时,y=S△ADE=
1
4
x2

(3)5<x<10时,点A′落在三角形的外部,其重叠部分为梯形,精英家教网
∵S△A′DE=S△ADE=
1
4
x2
∴DE边上的高AH=A'H=
1
2
x,
由已知求得AF=5,
∴A′F=AA′-AF=x-5,
由△A′MN∽△A′DE知
SA′MN
SA′DE
=(
A′F
A′H
2,S△A′MN=(x-5)2
∴y=
1
4
x2-(x-5)2=-
3
4
x2+10x-25.

(4)在函数y=
1
4
x2中,
∵0<x≤5,
∴当x=5时y最大为:
25
4

在函数y=-
3
4
x2+10x-25中,
当x=-
b
2a
=
20
3
时y最大为:
25
3

25
4
25
3

∴当x=
20
3
时,y最大为:
25
3
点评:本题主要考查了相似三角形的性质,二次函数的应用等知识点.本题中根据相似比求面积是解题的基本思路.
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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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