Question

6．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（-4，-3），则可确定C（-4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；
（3）通过解方程-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2=0得到D（-6，0），E（-2，0），利用S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM，可求出S_△ABC=10，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²-4t-6），所以$\frac{1}{2}$•（-2+6）•|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=$\frac{1}{10}$•20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
把A（-8，0），B（0，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-6；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴点M为AB的中点，M（-4，-3），
∵MC∥y轴，MC=5，
∴C（-4，2），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）²+2，
把B（0，-6）代入得16a+2=-6，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2，即y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-6；
（3）存在．
当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2=0，解得x₁=-2，x₂=-4，
∴D（-6，0），E（-2，0），
S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$•8•CM=20，
设P（t，-$\frac{1}{2}$t²-4t-6），
∵S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•（-2+6）•|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=$\frac{1}{10}$•20，
即|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=1，
当-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=1，解得t₁=-4+$\sqrt{6}$，t₂=-4-$\sqrt{6}$，此时P点坐标为（-4+$\sqrt{6}$，1）或（-4-$\sqrt{6}$，1）
当-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=-1，解得t₁=-4+$\sqrt{2}$，t₂=-4-$\sqrt{2}$；此时P点坐标为（-4+$\sqrt{2}$，-1）或（-4-$\sqrt{2}$，-1）
综上所述，P点坐标为（-4+$\sqrt{6}$，1）或（-4-$\sqrt{6}$，1）或（-4+$\sqrt{2}$，-1）或（-4-$\sqrt{2}$，-1）时，使得S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆周角定理；会利用待定系数法求函数解析式；会解一元二次方程；记住三角形面积公式．