Question

如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC的顶点分别是O（0，0），点A（9，0），B（6，4），C（0，4）．点P从点C沿C-B-A运动，速度为每秒2个单位，点Q从A向O点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．两点同时出发，设运动的时间是t秒．
（1）点P和点Q谁先到达终点？到达终点时t的值是多少？
（2）当t取何值时，直线PQ∥AB？并写出此时点P的坐标．（写出解答过程）
（3）是否存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．
（4）探究：当t取何值时，直线PQ⊥AB？（只要直接写出答案，不需写出计算过程）．

Answer 1

分析：（1）求出BC，AB的长度，AQ的长度，即可求得从出发点到终点的时间；
（2）直线PQ∥AB时，BP=AQ，即可得到一个关于关于t的方程，即可求得t的值；
（3）首先求得四边形AOCB的面积，则四边形CPOQ的面积即可得到，根据面积公式即可得到关于t的方程，从而求解；
（4）直线PQ⊥AB，则直线PQ与直线AB的斜率互为负倒数，据此即可求得t的值．

解答：解：（1）AB=5，BC+BA=11，OA=9，

11

2

=5.5，
∴点P先到达终点，到达终点时t的值为5.5秒．

（2）假设PQ∥AB，又CB∥OA，
∴四边形AQPB为平行四边形，
∴PB=AQ，即t=6-2t，
解得t=2，
则当t=2时，PQ∥AB，CP=2×2=4，
此时点P的坐标（4，4）；

（3）不存在．
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分，
当点P在线段BC上时：
即

1

2

（PC+OQ）×CO=15，

1

2

（9-t+2t）×4=15，
得t=-1.5不合题意，
当点P在线段AB上时：AP=11-2t，
作BD⊥OA，PE⊥OA，则△APE∽△ABD，

PE

BD

=

AP

AB

，即

PE

4

=

11-2t

5

，解得PE=

4

5

（11-2t），

1

2

×

4

5

（11-2t）•t=15，
即4t²-22t+75=0，方程没有实数根．
所以不存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分；

（4）作BD⊥OA交OA于D．
易证△ABD∽△AQP．
∴AD：AP=AB：AQ．
∴3：（11-2t）=5：t
∴3t=55-10t，
解得t=

55

13

．
∴当t=

55

13

时直线PQ⊥AB．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合得出相似三角形是解题关键．