Question

1．如图，A（4，0），B（0，4），直线y=$\frac{1}{3}$x与直线AB交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，若∠PCO=3∠ABO．
①求直线PB的解析式；
②求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），根据点A、B的坐标即可求出直线AB的解析式，联立直线AB、OC的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标；
（2）①过点C作CE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥OC于点F，由A、B点的坐标即可得出∠ABO=45°，由∠PCO=3∠ABO即可得出∠PCO=135°，∠PCF=45°，根据∠COE的正切即可得出$\frac{CE}{OE}=\frac{PF}{OF}$，由此可求出PF的长，再根据勾股定理即可得出OP的长，进而得出点P的坐标，根据点P、B的坐标即可利用待定系数法求出直线PB的解析式；②由①中OP的长即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+4．
联立直线AB、OC的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（3，1）．
（2）①如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥OC于点F，
∵A（4，0），B（0，4），
∴∠ABO=45°，
∵∠PCO=3∠ABO，
∴∠PCO=135°，∠PCF=45°，
∵PF⊥OC，
∴PF=CF．
∵C（3，1），
∴CE=1，OE=3，OC=$\sqrt{C{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴tan∠COE=$\frac{CE}{OE}=\frac{PF}{OF}$=$\frac{PF}{\sqrt{10}+PF}$=$\frac{1}{3}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，OF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{F}^{2}+O{F}^{2}}$=5，
∴P（5，0）．
设直线PB的解析式为y=mx+n（m≠0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{5}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+4．
②由①可得知：点P的坐标为（5，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）联立直线AB、OC的解析式成方程组；（2）①利用待定系数法求出直线PB的解析式；②求OP的长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角三角形中的角的正切值找出边的比例关系是关键．