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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
    （1）如图2，求当x=
    12
    时，y的值是多少？
    （2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
    （3）求y与x之间的函数关系式．
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    分析：（1）当x=
    1
    2
    时，E在△ABC内部，设DE交AC于G，那么重合部分的面积就是梯形EGCF的面积，可在直角三角形DCG中，根据∠D的正切值求出CG的长，然后根据梯形的面积公式即可得出重合部分的面积即y的值．
    （2）当E在AB上时，在直角三角形BEF中，根据∠B的正切值和EF的长求出BF的值，进而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法进行求解．
    （3）本题要分两种情况进行讨论：
    ①当E在AB左侧（包括E在AB上）时，重合部分是个梯形，其面积可参照（1）的方法进行求解．
    ②当E在AB右侧时，重合部分是个五边形，可用梯形EGCF的面积-△EHQ的面积（设EF交AB于Q，ED交AB于H）来求重合部分的面积，据此可得出y、x的函数关系式．
    解答：精英家教网
    解：（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=
    1
    2
    ．∴DC=DF-FC=
    7
    2
    ．
    ∵tanD=
    GC
    DC
    =
    EF
    DF
    =
    3
    4
    ，∴GC=
    21
    8
    ．
    ∴y=
    1
    2
    （EF+GC）•FC=
    45
    32
    ．

    （2）当点E运动到AB上时，如图2；
    ∵tanB=
    EF
    BF
    =
    AC
    BC
    =
    4
    3
    ，∴BF=
    9
    4
    ．
    ∴x=FC=BC-BF=
    3
    4
    ．
    ∵DC=DF-FC=
    13
    4
    ，
    GC
    DC
    =
    3
    4
    ；
    ∴GC=
    39
    16
    ．
    ∴y=
    1
    2
    （EF+GC）•FC=
    261
    128
    ．

    （3）本题分两种情况：
    ①当0＜x≤
    3
    4
    时，如图3；DC=4-x；
    ∵tanD=
    GC
    DC
    =
    EF
    DF
    =
    3
    4
    ，∴GC=3-
    3
    4
    x．
    ∴y=
    1
    2
    （EF+GC）•FC=-
    3
    8
    x2+3x．
    ②当
    3
    4
    ＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．
    由①知，梯形EFCG的面积为-
    3
    8
    x2+3x．
    ∵tanB=
    QF
    BF
    =
    AC
    CB
    =
    4
    3
    ，BF=3-x，
    ∴QF=4-
    4
    3
    x．
    ∴EQ=3-QF=
    4
    3
    x-1．
    ∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
    ∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；
    ∴S△EHQ=
    6
    25
    （
    4
    3
    x-1）2；
    ∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-
    3
    8
    x2+3x-
    6
    25
    （
    4
    3
    x-1）2=-
    481
    600
    x2+
    91
    25
    x-
    6
    25
    ．
    点评：本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．注意可用类比的方法求解多个类似题型．
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    要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
    （2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．

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    （1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1，图2，图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；
    （2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
    （3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．
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    要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
    （2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．

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    （2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
    （3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少

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