Question

6．如图所示，在△ABC中，∠A=α，BP和CP是角平分线，两线交于点P，且∠P=β，试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明．

Answer 1

分析 图（1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；
图（2）利用角平分线定义可知∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD=∠A+∠ABC①，∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC②，那么可利用∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，可得相等关系；
图（3）利用角平分线的性质得出∠CBP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），进而得出答案．

解答 解：（1）β=90°+$\frac{1}{2}$α；（2）β=$\frac{1}{2}$α；（3）β=90°-$\frac{1}{2}$α．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
∴β=90°+$\frac{1}{2}$α．
如图（2），结论：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
∴β=$\frac{1}{2}$α；
如图（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α，
即β=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A是解题的关键．