Question

24、如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，连心线O₁O₂交⊙O₁于C、D两点，直线CA交⊙O₂于点P，直线PD交⊙O₁于点Q，且CP∥QB，求证：AC=AP．

Answer 1

分析：欲证AC=AP，连接AO₁，因为CO₁=DO₁，可以证明AO₁∥DP，通过中位线的性质得出；根据平行线的判断须证明同位角∠CAO₁=∠P，再根据圆周角的性质及角相互间的关系能够解决问题．

解答：证明：连接AO₁．
∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，连心线O₁O₂交⊙O₁于C、D两点，
∴O₁O₂垂直平分AB，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACO₁=∠DQB．
∵AO₁=CO₁，
∴∠ACO₁=∠CAO₁．
∵CP∥BQ，
∴∠P=∠DQB，
∴∠CAO₁=∠P，
∴AO₁∥DP（同位角相等，两直线平行），
∵CO₁=DO₁，
∴AC=AP．

点评：本题综合考查了圆与圆的位置关系中线段问题，重点考查了圆周角的性质，平行线的判断，中位线的性质．