Question

如图，已知PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，且∠APB=60°．若点C是⊙O异于A、B的任意一点，则∠ACB=（　　）

• A、60°
• B、120°
• C、60°或120°
• D、不能确定

Answer 1

分析：分两种情况：（1）当C在优弧AB上；（2）当C在劣弧AB上；连接OA、OB，在四边形PAOB中，∠OAP=∠OBP=90°，由内角和求得∠AOB的大小，然后根据圆周角定理∠AOB=2∠ACB=120°．

解答：解：（1）如图（1），连接OA、OB．
在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，
则∠OAP=∠OBP=90°；
由四边形的内角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∠APB=60°，
∴∠AOB=120°；
又∵∠ACB=

1

2

∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ACB=60°；

（2）如图（2），连接OA、OB，作圆周角∠ADB．
在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，
则∠OAP=∠OBP=90°；
由四边形的内角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∠APB=60°，
∴∠AOB=120°；
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°；
故选C．

点评：本题考查了切线的性质及圆周角定理及多边形的内角和定理．解答此题时，采用了“分类讨论”数学思想，避免了漏解的现象．