Question

33、附加题：有一塔形几何体由n个正方体构成，构成方式如下图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点、已知顶层（即最上层）正方体的棱长为a，设塔形几何体的表面积（含最底层正方体的底面面积）为S，请完成下列问题：
（1）仿照第二行，填写下表：

（2）根据上表猜测：当有n（n≥2）个正方体时，塔形几何体的表面积S与n的关系为：S=

（2^n-1×10-4）a²

．

Answer 1

分析：（1）根据图示逐层算出露出的面积加以比较即解．易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面积为下边一个正方体的一个面积的一半．
（2）首先分别求出n=1，2，3时，S的对应值，然后观察比较，并结合图形，找出S与n的对应关系，从而得出S与n的一般关系式．

解答：解：（1）如表：

（2）根据（1）可知n=1时，S=6a²=（2^1-1×10-4）a²；
n=2时，S=2×6a²+4a²=16a²=（2^2-1×10-4）a²；
n=3时，S=2×16a²+4a²=40a²=（2^3-1×10-4）a²；
…
故S=（2^n-1×10-4）a²．

点评：解决本题的关键是得到上下正方体的一个面积之间的关系．本题需注意假如上面有一层立方体，则露出的表面积为：4×正方形的面积+一半正方形的面积．