Question

19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG：PC的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为a，则AB=BC=AD=a，根据正方形性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，由勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，延长FP交AD于M，过B作BN∥AC交AF的延长线于N，证△NFB∽△AFC求出BF=（$\sqrt{2}$-1）a，CF=（2-$\sqrt{2}$）a，证△BOF∽△DOM求出DM=BF=（$\sqrt{2}$-1）a，求出GM=（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）a，证△GMP∽△CFP，得出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$，即可求出答案．

解答 解：如图：
设正方形ABCD的边长为a，则AB=BC=AD=a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$a，
延长FP交AD于M，过B作BN∥AC交AF的延长线于N，
则∠N=∠CAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠N=∠BAF，
∴AB=BN=a，
∵BN∥AC，
∴△NFB∽△AFC，
∴$\frac{BN}{AC}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{BF}{a-BF}$，
∴BF=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴CF=a-（$\sqrt{2}$-1）a=（2-$\sqrt{2}$）a，
∵AD∥BC，
∴△BOF∽△DOM，
∴$\frac{DM}{BF}$=$\frac{OD}{OB}$，
∵OD=OB，
∴DM=BF=（$\sqrt{2}$-1）a，
∵点G是AD的中点，
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$a，
∴GM=$\frac{1}{2}$a-（$\sqrt{2}$-1）a=（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）a，
∵AD∥BC，
∴△GMP∽△CFP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）a}{（2-\sqrt{2}）a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，题目综合性比较强，难度偏大．