分析 设正方形ABCD的边长为a,则AB=BC=AD=a,根据正方形性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,OD=OB,由勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a,延长FP交AD于M,过B作BN∥AC交AF的延长线于N,证△NFB∽△AFC求出BF=($\sqrt{2}$-1)a,CF=(2-$\sqrt{2}$)a,证△BOF∽△DOM求出DM=BF=($\sqrt{2}$-1)a,求出GM=($\frac{3}{2}-\sqrt{2}$)a,证△GMP∽△CFP,得出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$,即可求出答案.
解答 解:如图:
设正方形ABCD的边长为a,则AB=BC=AD=a,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AD∥BC,OD=OB,
由勾股定理得:AC=$\sqrt{2}$a,
延长FP交AD于M,过B作BN∥AC交AF的延长线于N,
则∠N=∠CAF,
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF,
∴∠N=∠BAF,
∴AB=BN=a,
∵BN∥AC,
∴△NFB∽△AFC,
∴$\frac{BN}{AC}$=$\frac{BF}{CF}$,
∴$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{BF}{a-BF}$,
∴BF=($\sqrt{2}$-1)a,
∴CF=a-($\sqrt{2}$-1)a=(2-$\sqrt{2}$)a,
∵AD∥BC,
∴△BOF∽△DOM,
∴$\frac{DM}{BF}$=$\frac{OD}{OB}$,
∵OD=OB,
∴DM=BF=($\sqrt{2}$-1)a,
∵点G是AD的中点,
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$a,
∴GM=$\frac{1}{2}$a-($\sqrt{2}$-1)a=($\frac{3}{2}-\sqrt{2}$)a,
∵AD∥BC,
∴△GMP∽△CFP,
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$,
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{(\frac{3}{2}-\sqrt{2})a}{(2-\sqrt{2})a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$,
故答案为:$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$.
点评 本题考查了正方形的性质,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,题目综合性比较强,难度偏大.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
图形标号 | (1) | (2) | (3) | (4) |
火柴棒根数 | 5 | 9 | 13 | 17 |
三角形个数 | 2 | 4 | 6 | 8 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 121 | B. | 125 | C. | 144 | D. | 148 |
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