Question

【题目】 如图，是矩形的边上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作交于点, 交DC于点F，过点B作于点G，交AE于点H．

（1）求证：∽；

（2）求证：；

（3）若E是BC的中点，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等证明∠BAE=∠CEF，进一步即可证得结论；

（2）先利用等角的余角相等证明∠ABG=∠ACB，进而可证明△ABH∽△ECM，再利用相似三角形的性质即可证得结论；

（3）由（1）利用相似三角形的性质可求出CF的长，进而利用勾股定理可求出EF的长，延长FE交AB的延长线于点N，易证△NBE≌△FCE，于是NB=FC，NE=FE，由CF∥AN可得△CMF∽△AMN，然后利用相似三角形的性质可求出FM的长，进一步即可求出结果.

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵，∴∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴∽；

（2）证明：∵，∴∠BAG+∠ABG=90°，

又∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ACB，

∵∠BAH=∠ECM，

∴△ABH∽△ECM，

∴，

即；

（3）∵，，∴BC=8，∵E是BC的中点，∴BE=CE=4，

由（1）知∽，则，即，解得：，

则在Rt△CEF中，，

延长FE交AB的延长线于点N，

∵∠NBE=∠FCE=90°，BE=CE，∠NEB=∠FEC，

∴△NBE≌△FCE，∴NB=FC，NE=FE，

∵CF∥AN，∴△CMF∽△AMN，∴，

∴，

∴.