Question

【题目】李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙0在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，已知AB＝20.线段PQ在AB上(AP＜AQ)，PQ＝6，以PQ的中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ＝，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，则m的取值范围是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

分两种情况讨论：当DE与圆O左侧相切时；当DE在圆O右侧，E在圆上时.

如图，当DE与圆O左侧相切时，过点O作OH⊥DE于H，过点H作HG⊥AB于G，过点O作OM⊥HG于M，延长ED交AB于N.

在Rt△DCN中，cos∠DCN= =，CN==5.

易证∠OHM=∠HNG，cos∠HNG=sin∠DCN=.

在Rt三角形OMH中，MH=OMcos∠OHM=OMcos∠HNG=4,

∴HG=MG-MH=-4=.

在Rt△HNG中，同理可求得GN=×=.

∴CG=GN-CN=，从而AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=，

∴AP=AC-PG=-3=.

如图，当DE在圆O右侧，E在圆上时，过点E作EG⊥AB于G，过点O作OH⊥AB于H，过点E作EM⊥OH于M，延长ED交AB于N.

在Rt△CDE中，易求得DE=4，CE=5.

∴EN=2DE=8，CN=CE=5.

在Rt△EGN中，易求得GN=，EG=.

∴CG=GN-CN=，MH=EG=.

∴OM=OH-MH=3，从而HG=ME=4，CH=HG+CG=.

∴AP=AC-PC=AH+HG+CG-PC=.

所以m的取值范围为.

故选A.