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19.如图,边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为(  )
A.2B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$C.4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D.4-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

分析 设B′C′与CD的交点为E,连接AE,利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等,根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE,再根据旋转角求出∠DAB′=60°,然后求出∠DAE=30°,再解直角三角形求出DE,然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积,列式计算即可得解.

解答 解:如图,设B′C′与CD的交点为E,连接AE,

在Rt△AB′E和Rt△ADE中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB′=AD}\end{array}\right.$,
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL),
∴∠DAE=∠B′AE,
∵旋转角为30°,
∴∠DAB′=60°,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
∴DE=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴阴影部分的面积=2×2-2×($\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
故选:C.

点评 本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形判定与性质,解直角三角形,利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE,从而求出∠DAE=30°是解题的关键,也是本题的难点.

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∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠BAE(等量代换)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质)
即∠BAF=∠CAD
∴∠3=∠CAD(等量代换)
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行)

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