Question

某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是40元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是60元时，销售量是100件，而销售单价每降低1元，就可多售出10件．
（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于56元，且商场要完成不少于110件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？

Answer 1

分析：（1）根据题意可得：销售量y=100+10×（60-售价）=100+10×（60-x）=-10x+700；
（2）利润W=单件利润×销售量y件，即W=（x-40）（-10x+700），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=-10x²+1100x-28000的对称轴为x=75，而-10x+700≥110，x≤59，得56≤x≤59，根据二次函数的性质得到当56≤x≤59时，W随x的增大而减小，把x=56代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．

解答：解：（1）由题意得：y=100+10×（60-x）=-10x+700，
故销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=-10x+700；

（2）由题意，得：w=（x-40）（-10x+700）=-10x²+1100x-28000，
答：W与x之间的函数关系式是w=-10x²+1100x-28000；

（3）由题意，得：

-10x+700≥110 x≥56

，
解得56≤x≤59，
W=-10x²+1100x-28000=-10（x-55）²+2250，
对称轴为x=

1100

-2×(-10)

=55，
又∵a＜0，56≤x≤59在对称轴右侧，w随x增大而减小．
∴当x=56时，W_最大=（56-40）（-10×56+700）=2240．
答：这段时间商场最多获利2240元．

点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．