Question

19．已知，如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为线段AB上一动点（不与点A、点B重合），先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）求证：△AEG∽△DHC；
（2）若折叠过程中，CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，求tan∠BEC的值；
（3）若折叠后，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，求此时AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到CD=AB=4，AD=BC=6，∠A=∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠F=∠B=90°，根据余角的性质得到∠AEG=∠DHC，于是得到结论；
（2）由点H是AD的中点，得到AH=DH=3，根据相似三角形的性质得到GH=$\frac{5}{3}$，得到AG=AD-GH-DH=$\frac{4}{3}$，BE=2，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）分两种情况考虑：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，∠A=∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，
∴∠F=∠B=90°，
∵∠AGE=∠FGH，∠FHG=∠DHC，
∵∠FGH+∠FHG=90°，
∴∠AGE+∠DHC=90°，
∵∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠AEG=∠DHC，
∴△AEG∽△DHC；
（2）∵点H是AD的中点，
∴AH=DH=3，
∵CD=4，
∴CH=5，FH=1，
∵∠F=∠D=90°，∠FHG=∠DHC，
∴△FHG∽△DHC，
∴$\frac{FH}{DH}$=$\frac{GH}{CH}$，
∴GH=$\frac{5}{3}$，
∴AG=AD-GH-DH=$\frac{4}{3}$，
∵△AEG∽△DHC，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{DH}$，
∴AE=1，
∴BE=2，
∴tan∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{6}{2}$=3；
（3）当F在横对称轴MN上，如图2所示，此时CN=$\frac{1}{2}$CD=2，CF=BC=6，
∴FN=$\sqrt{C{F}^{2}-C{N}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴MF=6-4$\sqrt{2}$，
由折叠得，EF=BE，EM=2-BE，
∴EM²+MF²=EF²，
即（2-BE）²+（6-4$\sqrt{2}$）²=BE²，
∴BE=18-12$\sqrt{2}$，
∴AE=12$\sqrt{2}$-12；

当F在竖对称轴MN上时，如图3所示，此时AB∥MN∥CD，
∴∠BEC=∠FOE，
∵∠BEC=∠FEC，
∴∠FEC=∠FOE，
∴EF=OF，
由折叠的性质得，BE=EF，∠EFC=∠B=90°，
∵BN=CN，
∴OC=OE，
∴FO=OE，
∴△EFO是等边三角形，
∴∠FEC=60°，
∴∠BEC=60°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AE=6-2$\sqrt{3}$．
综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是12$\sqrt{2}$-12或6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，注意分两种情况解答此题．