Question

【题目】△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．

(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；

(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．

Answer 1

【答案】(1)圆A与圆O外切，理由见解析；(2)y＝(＜x＜5)；(3)当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．

【解析】

（1）由三角函数得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，则PB＝PE，OP∥AC，得出＝，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，得出OB＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝，OB═，求出OA＝AB﹣OB＝2OB，即可得出结论；

（2）连接OM，由相交两圆的性质得出OA与MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；

（3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；

②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，证明△BEH∽△BAC，得出EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③当O与A重合时，OE＝OF，OE＝AB＝5；即可得出结论．

(1)圆A与圆O外切，理由如下：

∵∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，

作OP⊥BE于P，如图1所示：

则PB＝PE，OP∥AC，

，

设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，

解得：x＝，

∴OB═，

∴OA＝AB﹣OB＝5＝2OB，

∴圆A与圆O外切；

(2)连接OM，如图2所示：

∵圆O与圆A存在公共弦MN，

∴OA与MN垂直平分，

∴∠ODM＝90°，DM＝

由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即

整理得：y2＝3x2+10x﹣25，

∴y＝；

(3)分三种情况：

①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；

②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：

作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，

∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，

∴△BEH∽△BAC，

∴，

∴EH＝，

在Rt△OEH中，由勾股定理得：＝OE2＝OB2，

解得：OB＝；

③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；

综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．