Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交直线BC于点N，求四边形MBNA的最大面积，并求出点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△BCP为直角三角形？若存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）如图1，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，设M（x，x²-4x+3）（1＜x＜3），则N（x，-x+3），则MN=-x²+5x，利用三角形面积公式得到四边形MBNA的面积=$\frac{1}{2}$•AB•MN=$\frac{1}{2}$•2•（-x²+5x），然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，讨论：过B点作PB⊥BC交抛物线于P点，交y轴于Q点，如图2，则∠CBQ=90°，判断△OBQ为等腰直角三角形得到OQ=OB=3，则Q（0，-3），易得直线BQ的解析式为y=x-3，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=x-3}\end{array}\right.$得此时P点坐标；过C点作PC⊥BC交抛物线于P点，如图3，则∠PCB=90°，同样方法可得易此时P点坐标；当∠BPC=90°时，如图4，作PH⊥y轴于H，BF⊥PH于F，设P（t，t²-4t+3），易证得△CPH∽△PBF，利用相似比得到$\frac{t}{-（{t}^{2}-4t+3）}$=$\frac{3-（{t}^{2}-4t+3）}{3-t}$，于是通过约分整理得到t²-5t+5=0，然后解方程求出t即可得到此时P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-3）=3，解得a=3，
∴抛物线解析式为y=（x-1）（x-3），即y=x²-4x+3；
（2）如图1，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设M（x，x²-4x+3）（1＜x＜3），则N（x，-x+3），
∴MN=-x+3-（x²-4x+3）=-x²+5x，
∴四边形MBNA的面积=S_△ABM+S_△ABN=$\frac{1}{2}$•AB•MN=$\frac{1}{2}$•2•（-x²+5x）=-x²+5x=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，四边形MBNA的面积最大，最大值为$\frac{25}{4}$；
（3）存在．
∵OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过B点作PB⊥BC交抛物线于P点，交y轴于Q点，如图2，则∠CBQ=90°，
∵∠OBQ=45°，
∴△OBQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OB=3，
∴Q（0，-3），
易得直线BQ的解析式为y=x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（2，-1）；
过C点作PC⊥BC交抛物线于P点，如图3，则∠PCB=90°，
易得直线CQ的解析式为y=x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=8}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（5，8）；
当∠BPC=90°时，如图4，作PH⊥y轴于H，BF⊥PH于F，设P（t，t²-4t+3），
易证得△CPH∽△PBF，
∴$\frac{PH}{BF}$=$\frac{CH}{PF}$，即$\frac{t}{-（{t}^{2}-4t+3）}$=$\frac{3-（{t}^{2}-4t+3）}{3-t}$，
∴$\frac{t}{-（t-3）（t-1）}$=$\frac{t（t-4）}{t-3}$，
整理得t²-5t+5=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，此时P点坐标为（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，-1），（5，8），（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和切线的性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点问题转化为解方程的问题；会利用相似比求线段的长；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．