分析 (1)利用矩形的性质和勾股定理易得FG,利用相似三角形的性质可得BG的长,进而可求出t的值;
(2)①如图1,当0<t≤2时,根据三角形的面积公式求得结论;②如图2,当2<t≤$\frac{22}{3}$时,根据三角形的面积公式即可得到结论;③如图3,当$\frac{22}{3}$<t≤8时,S=4④当8<t≤10时根据两三角形的面积差即可得到结论.
解答 解:(1)在矩形ABCD中,AB=6,BD=10
∴由勾股定理得:BC=8
∵在Rt△EFG中,GE+AB=BC,FG=2GE.
∴FG=4
当点F恰好经过BD是
∵∠FGE=90°,∠C=90°
∴FG∥DC
∴△BFG∽△BCD
∴$\frac{FG}{DC}=\frac{BG}{BC}$
∴BG=$\frac{16}{3}$
∴BE=$\frac{22}{3}$
∴当点F恰好经过BD时,t=$\frac{22}{3}$.
(2)①当0≤t≤2时,如图1,
∵MN∥CD,
∴$\frac{MN}{CD}=\frac{BE}{CD}$=$\frac{t}{6}$,
∴MN=$\frac{t}{6}$×CD=$\frac{t}{6}$×
S=$\frac{3}{11}$t2
②当2<t≤$\frac{22}{3}$时,如图2
S=-$\frac{9}{88}$t2+$\frac{3}{2}$t-$\frac{3}{2}$,
③当$\frac{22}{3}$<t≤8时,如图3,
S=4
④当8<t≤10时,如图4,
S=-t2+16t-60
综上可知S与t之间的函数关系式为:S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{11}{t}^{2}(0≤t≤2)}\\{-\frac{9}{88}{t}^{2}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}(2<t≤\frac{22}{3})}\\{4(\frac{22}{3}<t≤8)}\\{-{t}^{2}+16t-60(8<t≤10)}\end{array}\right.$.
点评 本题是四边形综合题,主要考查了勾股定理,矩形的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,求函数的解析式,正确的画出图形是解题的关键.
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