Question

3．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BD=10．Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩形的B点重合，∠FGE=90°，已知GE+AB=BC，FG=2GE．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向按每秒1个单位运动，直到点G到达点C停止运动．设Rt△EFG的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求出线段FG的长，并求出当点F恰好经过BD时，运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设Rt△EFG与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质和勾股定理易得FG，利用相似三角形的性质可得BG的长，进而可求出t的值；
（2）①如图1，当0＜t≤2时，根据三角形的面积公式求得结论；②如图2，当2＜t≤$\frac{22}{3}$时，根据三角形的面积公式即可得到结论；③如图3，当$\frac{22}{3}$＜t≤8时，S=4④当8＜t≤10时根据两三角形的面积差即可得到结论．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=6，BD=10
∴由勾股定理得：BC=8
∵在Rt△EFG中，GE+AB=BC，FG=2GE．
∴FG=4    
当点F恰好经过BD是
∵∠FGE=90°，∠C=90°
∴FG∥DC
∴△BFG∽△BCD
∴$\frac{FG}{DC}=\frac{BG}{BC}$
∴BG=$\frac{16}{3}$
∴BE=$\frac{22}{3}$
∴当点F恰好经过BD时，t=$\frac{22}{3}$．
（2）①当0≤t≤2时，如图1，
∵MN∥CD，
∴$\frac{MN}{CD}=\frac{BE}{CD}$=$\frac{t}{6}$，
∴MN=$\frac{t}{6}$×CD=$\frac{t}{6}$×
S=$\frac{3}{11}$t²

②当2＜t≤$\frac{22}{3}$时，如图2
S=-$\frac{9}{88}$t²+$\frac{3}{2}$t-$\frac{3}{2}$，

③当$\frac{22}{3}$＜t≤8时，如图3，
S=4

④当8＜t≤10时，如图4，
S=-t²+16t-60

综上可知S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{11}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{-\frac{9}{88}{t}^{2}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}（2＜t≤\frac{22}{3}）}\\{4（\frac{22}{3}＜t≤8）}\\{-{t}^{2}+16t-60（8＜t≤10）}\end{array}\right.$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，正确的画出图形是解题的关键．