Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

（1）求∠OMP的度数；

（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）∠PMO=135°；（2）内心M所经过的路径长为2πcm．

【解析】

（1）先判断出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；

（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO=135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C=90°，最后用弧长公式即可得出结论．

（1）∵△OPE的内心为M，

∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，

∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，

∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；

（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，

而∠MOP=∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO=∠PMO=135°，

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；

点M在扇形BOC内时，

过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，

在优弧CO取点D，连DA，DO，

∵∠CMO=135°，

∴∠CDO=180°﹣135°=45°，

∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，

∴O′O=OC=×4=2，

∴弧OMC的长==π（cm），

同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，

所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm．