Question

8．如图所示，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）过点P作PM⊥AD，若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求$\frac{PM}{DM}$的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，从而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，于是得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°从而得出AP=2，又有PM⊥AD，得到PM=$\sqrt{3}$，AM=1，从而得到，DM=5，于是推出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∵∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，
∵AB=4，
∴AP=2，
∵PM⊥AD，
∴PM=$\sqrt{3}$，AM=1，
∵AD=6，
∴DM=5，
∴$\frac{PM}{DM}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质和菱形的判定，特殊三角形的性质，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．