Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，经过原点的直线MN切⊙O₁于点M，圆心O₁的坐标为（2，0）．
（1）求切线MN的函数解析式；
（2）线段OM上是否存在一点P，使得以P、O、A为顶点的三角形与△OO₁M相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若将⊙O₁沿着x轴的负方向以每秒1个单位的速度移动；同时将直线MN以每秒2个单位的速度向下平移，设运动时间为t（t＞0），求t为何值时，直线MN再一次与⊙O₁相切？（本小题保留3位有效数字）

Answer 1

解：（1）过点M作MF⊥x轴，垂足为F
∵MN是切线，M为切点，
∴O₁M⊥OM
在Rt△OO₁M中，
∴∠O₁OM=30°，
在Rt△MOF中，∠O₁OM=30°，
∴
∴点M坐标为（2分）
设切线MN的函数解析式为y=kx（k≠0），由题意可知，
解得：
∴切线MN的函数解析式为（1分）

（2）存在．
①过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁．
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O，，
∴（2分）
②过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H．
可得Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO
在Rt△OP₂A中，∵OA=1，
∴
在Rt△OP₂H中，，
∴（2分）
∴符合条件的P点坐标有，
（3）如图，作MF⊥x轴于点F，
在Rt△OFM中，OF=；
在Rt△O₁MF中，O₁F=2t-（2-t）
∵O₁F=2O₁M=2，
∴，
解得：．

分析：过点M作MF⊥x轴，垂足为F，根据MN是切线，M为切点，得到O₁M⊥OM，在Rt△OO₁M中根据正弦值的定义求得∠O₁OM=30°，从而求得MF和OF，最后求得点M的坐标后利用待定系数法求得直线的解析式即可．
（2）过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁．利用Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O求得P₁A后即可求得点P₁的坐标；过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H．
利用Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO求得OP₂和OH即可求得P₂的坐标；
（3）首先Rt△OCD中求得OC=；然后在Rt△O₁MC中，求得O₁C=2t-（2-t，然后根据O₁C=2O₁M=2列出有关t的方程即可求得t值．
点评：本题是直线与圆的方程综合性题，对于存在性的处理方法，先假设存在再由题意用设而不求思想和韦达定理列出关系式，注意验证所求值的范围．