Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：
（1）AE=CF；
（2）△EPF是等腰直角三角形；
（3）S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）

• A、1个
• B、3个
• C、

  1

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，选项D不正确．从而求出正确的结论的概率．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=

1

2

∠BAC=45°，AP=

1

2

BC=CP．
（1）在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正确；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=

1

2

S_△ABC．正确；
（4）不能得出EF=AP，错误．
故正确的结论的概率是

3

4

．
故选D．

点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是利用证明三角形全等的方法来得到正确结论．