精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
16.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、点B,直线y=-2x+b分别交x轴、y轴于点C、点D,且OC=2OB.设直线AB、CD相交于点E.

(1)求直线CD的解析式;
(2)动点P从点O出发沿线段OC以每秒钟1个单位的速度向终点C匀速移动,同时过P作y轴平行线,交AB于点Q,交DC于点N,设P点移动的时间为t秒,NQ的长为d(d≠O),求d与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当P在运动过程中,以NQ长为直径的圆与y轴相切,求出t的值.

分析 (1)对于直线y=x+4,令x=0求出对应的y值,即为B的纵坐标,确定出B的坐标,得到OB的长,由OC=2OB,求出OC的长,确定出C的坐标,将C的坐标代入直线y=-2x+b中,求出b的值,进而确定出直线CD的解析式;
(2)过P作PG垂直于y轴于G点,连接PQ,由路程=速度×时间,表示出BP与DQ,由一对直角相等,以及一对公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BGP与三角形BOC相似,根据OB与OC,利用勾股定理求出BC的长,由相似得比例,将各自的值代入表示出BG和GP,由OB-BG表示出OG,进而表示出P的坐标,同理表示出Q的坐标,由P与Q横坐标相等,得到PQ平行于y轴,可得出d为Q与P纵坐标之差,表示即可,并由d大于0求出t的范围;
(3)由PQ与y轴平行,得到N横坐标与P、Q相同,都为2t,将x=2t代入直线AB解析式中求出对应的y值,即为N的纵坐标,表示出N的坐标,由Q与N的纵坐标之差表示出|NQ|,因为以NQ长为直径的圆与y轴相切,所以|NQ|÷2=2t,解方程即可.

解答 解:(1)对于直线y=x+4,令x=0,
解得:y=4,
故B(0,4),即OB=4,
∴OC=2OB=8,即C(8,0),
将x=8,y=0代入直线y=-2x+b得:0=-16+b,
解得:b=16,
则直线CD的解析式为y=-2x+16;
(2)过点P作PG⊥OB于G点,连接PQ,如图2,
由题意得:BP=$\sqrt{5}$t,DQ=2$\sqrt{5}$t,
由OB=4,OC=8,根据勾股定理得:BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$,
∵∠BGP=∠BOC=90°,又∠GBP=∠OBC,
∴△BPG∽△BCO,
∴$\frac{BG}{BO}$=$\frac{GP}{OC}$=$\frac{BP}{BC}$,即$\frac{BG}{4}$=$\frac{GP}{8}$=$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}$,
整理得:BG=t,GP=2t,
∴OG=OB-BG=4-t,
∴P(2t,4-t),
同理Q(2t,16-4t)
∴PQ∥y轴,
∴d=PQ=(16-4t)-(4-t)=12-3t(0≤t<4);
(3)由Q(2t,16-4t),PQ∥y轴,
∴N(2t,2t+4),
∴NQ=|12-6t|,
∵以NQ长为直径的圆与y轴相切,
∴2t=$\frac{1}{2}$|12-6t|,
解得:t=$\frac{6}{5}$或6.

点评 此题考查了一次函数与坐标轴的交点,相似三角形的判定与性质,勾股定理,坐标与图形性质,等腰直角三角形的判定与性质,直线与圆的位置关系,利用了转化及分类讨论的数学思想,是一道中考中的常考的压轴题.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠A的3倍与∠B的2倍相等,∠B的5倍与∠C的6倍相等,求∠A:∠B:∠C:∠D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

7.分解因式:4m2-9n2=(2m+3n)(2m-3n).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图,直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点,OA=2,tan∠ABO=$\frac{1}{2}$,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.
(1)求直线AB和这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,求△ABD的面积;
(3)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN的长度l有最大值?最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

1.直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与坐标轴相交于B、C两点,抛物线也过B、C两点,还与x轴相交于A点,抛物线对称轴与BC相交于E点,顶点为F,∠FEC=∠CAO.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P是线段BC上一点,过P与AC平行的直线与抛物线相交Q,若△CPQ与△ACO相似,求点Q的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

8.如图,已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A(-3,-2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点B(1,m),C(3,n)在该函数的图象上,试比较m与n的大小.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

5.学校建围栏,要为24000根栏杆油漆,由于改进了技术,每天比原计划多油400根,结果提前两天完成了任务,请问原计划每天油多少根栏杆?如果设原计划每天油x根栏杆,根据题意列方程为(  )
A.$\frac{24000}{x}$=$\frac{24000}{x-400}$+2B.$\frac{24000}{x}$=$\frac{24000}{x-400}$-2
C.$\frac{24000}{x}$=$\frac{24000}{x+400}$-2D.$\frac{24000}{x}$=$\frac{24000}{x+400}$+2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=103°-∠2,∠B=77°+∠2,AC⊥CD于F,∠1和∠2相等吗?请把结论或理由填写在下列红线或括号中.
说明:∵∠BAD=103°-∠2,∠B=77°+∠2(已知)
∴∠BAD+∠B=180°(等式性质)
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
∵AC⊥CD,EF⊥CD(已知)
∴∠ACD=∠EFD=90°(垂直的定义)
∴AC∥EF(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)

查看答案和解析>>

同步练习册答案