Question

8．如图，△ABC是定圆O的内接三角形，AD为△ABC的高线，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，连OE交BC于F，连OA，在下列结论中，①CE=2EF，②△ABG∽△AEC，③∠BAO=∠DAC，④$\frac{AB•AC}{AD}$为常量．其中正确的有②，③，④．

Answer 1

分析 根据圆周角定理以及相似三角形的判定方法，即可得出△ABG∽△AEC，△ABH∽△ADC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：∵∠BCE的度数不一定为30°，
∴Rt△CEF中，CE=2EF不一定成立，故①错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
又∵∠ABG=∠AEC，
∴△ABG∽△AEC，故②正确；
如图所示，延长AO交⊙O于点H，连接BH，
∵AH是⊙O直径，AD⊥BC，
∴∠ABH=90°，∠ADC=90°，
∴∠H+∠BAH=90°，∠C+∠ACD=90°，
∵∠H=∠ACD，
∴∠BAH=∠DAC，故③正确；
∵∠BAH=∠DAC，∠ABH=∠ADC，
∴△ABH∽△ADC，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AB}{AD}$，即AH=$\frac{AB•AC}{AD}$，
又∵AH为常量，
∴$\frac{AB•AC}{AD}$为常量，故④正确；
故答案为：②，③，④．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的综合应用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．