Question

5．如图在矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形A′B′CD′，AD的延长线分别与B′C、A′D交于点E、F，使CE=2B′E，连接CF，将△CEF沿直线B′C折叠得到△CEF′，当CF′恰好经过点D时，则在△BCD′中以BD′为底的高为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角三角形和△BCD′中以BD′为底的高；
（2）证明Rt△FGC≌Rt△CDF，得∠1=∠2=∠3=30°；
（3）利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求矩形的另一边长BC；
（4）在直角△CGB和直角△D′HB中求出BH和BD′的长；
（5）利用面积相等求高CM．

解答 解：过F作FG⊥B′C，垂足为G，过B作BH⊥D′H，交D′C的延长线于H，过C作CM⊥BD′，垂足为M，
由折叠得：DC=D′C=A′B′=FG=4，
∵FC=FC，
∴Rt△FGC≌Rt△CDF，
∴∠1=∠3，
由△CEF沿直线B′C折叠得到△CEF′得：∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴FE=EC=2ED，
在Rt△FDC中，∵DC=4，
∴FC=2DC=8，FD=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴EC=FE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵CE=2B′E，
∴B′C=4$\sqrt{3}$，
∵∠D′CB=360°-90°-90°-30°=150°，
∴∠BCH=180°-150°=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B′C=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=6，
BD′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（4+6）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
则S△BD′C=$\frac{1}{2}$×D′C×BH=$\frac{1}{2}$×BD′×CM，
4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{7}$×CM，
∴CM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
则在△BCD′中以BD′为底的高为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了旋转和翻折变换及矩形的性质，恰当地作辅助线构建直角三角形，利用直角三角形全等得出30°是本题的关键，利用了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出边长；同时利用面积相等求高的长，这一方法在数学解题中经常运用，要熟练掌握．