Question

（2013•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为

6π

．

Answer 1

分析：如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：

90π×3

180

=

3π

2

．
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：

90π×4

180

=2π．
点A″第一次翻滚到点A₁位置时，则点A″经过的路线长为：

90π×5

180

=

5π

2

．
则当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为：

3π

2

+2π+

5π

2

=6π．
故答案是：6π．

点评：本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．