分析 (1)①由折叠知BE=EM.AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.根据边长及中点易求周长;
②延长EM交CD延长线于Q点.可证△AEM≌△DQM,得AE=DQ,EM=MQ.所以PM垂直平分EQ,得EP=PQ,得证;
(2)不变化.可证△AEM∽△DMP,两个三角形的周长的比是AE:MD,设AM=x,根据勾股定理可以用x表示出MD的长与△MAE的周长,根据周长的比等于相似比,即可求解.
解答 (1)①解:由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°,
△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.
∵AB=4,M是AD中点,
∴△AEM的周长=4+2=6(cm);
故答案为6.
②证明:如图②中,延长EM交CD延长线于Q点.
∵∠A=∠MDQ=90°,AM=DM,∠AME=∠DMQ,
∴△AME≌△DMQ.
∴AE=DQ,EM=MQ.
又∵∠EMP=∠B=90°,
∴PM垂直平分EQ,有EP=PQ.
∵PQ=PD+DQ,
∴EP=AE+PD.
(2)解:△PDM的周长保持不变.理由如下:如图①中,
设AM=x,则MD=4-x.
由折叠性质可知,EM=4-AE,
在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,即AE2+x2=(4-AE)2,
整理得:AE2+x2=16-8AE+AE2,
∴AE=$\frac{1}{8}$(16-x2),
又∵∠EMP=90°,
∴∠AME+∠DMP=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠DMP.
又∵∠A=∠D,
∴△PDM∽△MAE.
∴$\frac{{C}_{△PDM}}{{C}_{△MAE}}$=$\frac{MD}{AE}$,
∴C△PDM=C△MAE•$\frac{MD}{AE}$=(4+x)•$\frac{4-x}{\frac{1}{8}(16-{x}^{2})}$=8.
∴△PDM的周长保持不变.
点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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