Question

如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）根据图象写出正比例函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围．
（3）若双曲线y=

k

x

(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．

Answer 1

分析：（1）先把点A的横坐标为4代入直线y=

1

2

x，得A点坐标为（4，2），然后把A点坐标为（4，2）代入双曲线y=

k

x

(k＞0)即可得到k的值；
（2）先确定B点坐标，这样直线被A、O、B三点分成四段，然后在四个区间讨论正比例函数的值与反比例函数值的大小即可；
（3）过A、C分别作y轴的垂线，垂足分别为E、F，先确定C点坐标，然后根据S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可．

解答：解：（1）把点A的横坐标为4代入直线y=

1

2

x，得y=2，即A点坐标为（4，2），
把A点坐标为（4，2）代入双曲线y=

k

x

(k＞0)得，k=4×2=8，
即k的值为8；

（2）∵A、B两点关于原点对称，
∴B点坐标为（-4，-2），
观察图象得，当-4＜x＜0或x＞4时，正比例函数的值大于反比例函数的值．

（3）如图，过A、C分别作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
把C的纵坐标8代入y=

8

x

，得C点坐标为（1，8）
∴S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO
=

1

2

（1+4）×（8-2）+

1

2

×4×2-

1

2

×8×1
=15，
即△AOC的面积为15．

点评：本题考查了点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式．也考查了观察图象的能力以及不规则几何图形面积的计算方法．